ബൈനറിയില്‍ നിന്ന് ഡെസിമലിലേയ്ക്ക്

ബൈനറി (രണ്ട് ആധാരമായ) സംഖ്യയെ കൈവിരലുകള്‍ ഉപയോഗിച്ച് ഡെസിമല്‍ (പത്ത് ആധാരമായ)  സംഖ്യ ആക്കാനുള്ള ഒരു വിദ്യ ഇന്ന്‍ പഠിക്കാം.

ചിത്രത്തില്‍ കാണുന്നതു പോലെ ഇടത്തെ കയ്യിലെ നാലുവിരലുകളില്‍ 1, 2, 4, 8 എന്നിങ്ങനെ ഒരു പേന ഉപയോഗിച്ച് എഴുതുക.

ഇനി ബൈനറി സംഖ്യ ഒരു കടലാസില്‍ എഴുതുക. ഉദാഹരണത്തിന് 1101 എടുക്കാം.

സംഖ്യകള്‍ക്ക് താഴെ വിരലുകള്‍ കൊണ്ടുവരിക.

സംഖ്യയുടെ ഇടത്തുവശത്ത് നിന്ന് ചെറു വിരല്‍ തൊട്ടാണ് തുടങ്ങേണ്ടത്.

0 ആണെങ്കില്‍ വിരല്‍  മടക്കിപ്പിടിക്കുക. 1 ആണെങ്കില്‍ നിവര്‍ത്തിപ്പിടിക്കുക.

ചിത്രം നോക്കുക.

ഇനി നിവര്‍ത്തിപ്പിടിച്ചിരിക്കുന്ന വിരലുകളിലെ സംഖ്യകള്‍ തമ്മില്‍ കൂട്ടിനോക്കുക. ഇതായിരിക്കും ഡെസിമല്‍ സംഖ്യ. അതായത് 8+4+1 = 13.

മറ്റൊരു രീതിയില്‍ പറഞ്ഞാല്‍ (1101)രണ്ട് = (13)പത്ത്

വേറൊരു ഉദാഹരണം കൂടി നോക്കാം.
ബൈനറി സംഖ്യ - 0101
ചിത്രം നോക്കുക.

0101 ന്റെ ഡെസിമല്‍ രൂപം 4+1 = 5.

(0101)രണ്ട് = (5)പത്ത്

© ScienceUncle. All rights resereved.

ഘടികാരവും സൂചികളും പിന്നെ കോണളവും!

സമയം ഒരു മണി അഞ്ച് മിനിട്ട്! ഇപ്പോള്‍ മണിക്കൂര്‍ സൂചിയും മിനിട്ട് സൂചിയും തമ്മില്‍ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണളവ് എത്രയാണെന്നു പറയാമോ?

ഏയ്! അങ്ങനെയൊരു കോണു തന്നെയില്ലല്ലോ. മിനിട്ട് സൂചിയും മണിക്കൂര്‍ സൂചിയും ഒന്നിനു മീതെ ഒന്നായി ഇരിക്കുകയല്ലേ എന്നു ചിന്തിക്കുന്നവരുമുണ്ടാകാം.

സമയം ഒരു മണിയാകുമ്പോള്‍, മണിക്കൂര്‍ സൂചി കൃത്യം ഒന്നിന് നേരേയായിരിക്കുമെന്ന് അറിയാമല്ലോ. എന്നാല്‍ സമയം ഒരു മണി അഞ്ച് മിനിട്ടാകുമ്പോള്‍ മണിക്കൂര്‍ സൂചി (അഞ്ചു മിനിട്ടിനനുസരിച്ച്) കുറച്ചു കൂടി നീങ്ങിയിരിക്കും!

അപ്പോള്‍ നമ്മുടെ ചോദ്യം, മിനിട്ട് സൂചി അഞ്ച് മിനിട്ട് പിന്നിടുമ്പോള്‍ മണിക്കൂര്‍ സൂചി എത്ര ഡിഗ്രി തിരിയും എന്നാക്കി മാറ്റാം.

മിനിട്ട് സൂചി 60 മിനിറ്റ് പിന്നിടുമ്പോള്‍ മണിക്കൂര്‍ സൂചി 30ഡിഗ്രി തിരിയുന്നു. (കാരണം, അടുത്തടുത്ത ഓരോ അക്കങ്ങളും ഘടികാരത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തില്‍ 30 ഡിഗ്രി കോണ്‍ ഉണ്ടാക്കുന്നു.)
അതായത് മിനിട്ട് സൂചി ഒരു മിനിട്ട് പിന്നിടുമ്പോള്‍ മണിക്കൂര്‍ സൂചി 0.5 ഡിഗ്രി (30/60) തിരിയുന്നു.

അതുകൊണ്ട് മിനിട്ട് സൂചി അഞ്ചു മിനിട്ട് പിന്നിടുമ്പോള്‍ മണിക്കൂറില്‍ 2.5 ഡിഗ്രി (5 x 0.5) തിരിയുന്നു എന്ന് കണക്കുകൂട്ടാം.

അപ്പോള്‍, സമയം ഒരു മണി അഞ്ചു മിനിട്ട് ആകുമ്പോള്‍ കോണളവ് 2.5 ഡിഗ്രി!

© ScienceUncle. All rights resereved.

സ്റ്റേഡിയവും ചില കേന്ദ്ര ചിന്തകളും.. (ഭാഗം 2)

വൃത്തത്തിന്റെ ഏത് ഞാണുകളുടേയും ലംബസമഭാജി വൃത്തകേന്ദ്രത്തിലൂടെ കടന്നു പോകുമെന്ന് കഴിഞ്ഞ പോസ്റ്റില്‍ പറഞ്ഞുവല്ലോ. ലംബസമഭാജി എങ്ങനെ വരക്കുമെന്ന് ഇപ്പോള്‍ നോക്കാം.

രണ്ടു രീതിയില്‍ ലംബസമഭാജികള്‍ വരയ്ക്കാം. ഒന്നാമത്തത്, രേഖയളന്ന് അതിന്റെ പകുതി കണ്ടു പിടിച്ച് (രണ്ടുകൊണ്ട് ഹരിച്ച്!), അവിടെ നിന്ന് സെറ്റ്സ്‌ക്വയര്‍ ഉപയോഗിച്ച് ലംബമായി ഒരു നേര്‍‌വര വരക്കലാണ്. താഴെയുള്ള രണ്ടു ചിത്രങ്ങള്‍ ശ്രദ്ധിക്കുക.
മറ്റൊരു രീതി കോമ്പസസ് ഉപയോഗിച്ചുള്ളതാണ്. താഴെയുള്ള ചിത്രത്തില്‍ കാണുന്നതു പോലെ രേഖയുടെ ഓരോ അഗ്രബിന്ദുവില്‍ നിന്നും രേഖയുടെ പകുതിയേക്കാള്‍ വലുപ്പത്തില്‍ കോമ്പസ് അകറ്റി ശരിപ്പെടുത്തി ഒരു ചാപം വരക്കുക. ശരിപ്പെടുത്തിയ കോമ്പസസിന്റെ അളവ് (മുനയില്‍ നിന്ന് പെന്‍സിലിലേക്കുള്ള ദൂരം) ഇനി മാറ്റരുതേ.


രേഖയുടെ രണ്ട് അഗ്രങ്ങളില്‍ നിന്നും ഇങ്ങനെ മുകളിലും താഴെയുമായി മൊത്തം നാലു ചാപങ്ങള്‍ വരയ്ക്കുക.

മുകളിലുള്ള ചാപങ്ങള്‍ കൂട്ടിമുട്ടുമ്പോഴുണ്ടാകുന്ന ബിന്ദുവില്‍ നിന്നും താഴെയുള്ള ചാപങ്ങള്‍ കൂട്ടിമുട്ടുമ്പോഴുണ്ടാകുന്ന ബിന്ദുവിലേക്ക് സ്കെയില്‍ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേര്‍വര വരയ്ക്കുക. ഈ നേര്‍വരയാണ് നമ്മുടെ രേഖയുടെ ലംബസമഭാജി. അതായത് ഇപ്പോള്‍ നാം വരച്ച വര നമ്മുടെ രേഖയെ കുത്തനെ തുല്യഭാഗങ്ങളാക്കി മുറിക്കുന്നു.

രാമു ആശാന് സ്റ്റേഡിയത്തില്‍ ലംബ സമഭാജി വരയ്ക്കാന്‍ പറ്റിയ കോമ്പസസുകള്‍ ഒന്നുമില്ലാത്തതിനാല്‍ നീളമുള്ള കുറച്ചു കയര്‍ കൊണ്ട് ചാപം വരച്ചാല്‍ മതിയാകും.

© ScienceUncle. All rights resereved.

സ്റ്റേഡിയവും ചില കേന്ദ്ര ചിന്തകളും.. (ഭാഗം 1)

തലസ്ഥാനത്തിലെ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള സ്റ്റേഡിയം. മഴക്കെടുതിയില്‍ വീട് നഷ്ടപ്പെട്ടവര്‍ക്കെല്ലാം പുതിയ വീടിന്റെ താക്കോല്‍ ദാനം നിര്‍വ്വഹിക്കുന്നതിനായി അടുത്തയാഴ്ച്ച മുഖ്യമന്ത്രി ഇവിടെ വരുന്നു. പരിപാടിക്കായി സ്റ്റേഡിയം മുഴുവന്‍ തോരണം കൊണ്ട് അലങ്കരിക്കണം. സ്റ്റേഡിയത്തിനു നടുക്കൊരു കൊടിമരം നാട്ടി അതില്‍ നിന്നു വേണം തോരണം വലിച്ച് അലങ്കരിക്കാൻ‍. കരാര്‍ ഏറ്റെടുത്തിരിക്കുന്ന രാമു ആശാനും മറ്റു തൊഴിലാളികള്‍ക്കും അങ്കലാപ്പായി. വൃത്താകൃതിയിലുള്ള സ്റ്റേഡിയത്തിന്റെ മധ്യം എങ്ങനെ കണ്ടു പിടിക്കാൻ‍!

അത് രാമു ആശാന്റെ കഥ. ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രം എങ്ങനെയാണ് കണ്ടുപിടിക്കുന്നത്? ജ്യോമട്രിയെ വിളിക്കാം. ജ്യോമട്രി വന്നു പറഞ്ഞു: വൃത്തത്തിന്റെ ഏത് ഞാണുകളുടേയും ലംബസമഭാജി വൃത്തകേന്ദ്രത്തിലൂടെ കടന്നു പോകും.
എന്താണാപ്പറഞ്ഞതിനര്‍ത്ഥം? വൃത്തത്തിലെ ഏത് രണ്ട് ബിന്ദുക്കളും ചേര്‍ത്ത് ഒരു നേര്‍വര വരച്ചാല്‍ അതിനേയാണല്ലോ ഞാണ്‍ എന്നു പറയുന്നത്. അങ്ങനെയുള്ള ഏത് രേഖാഖണ്ഡത്തിന്റേയും ഒത്തനടുവിലായി ലംബമാ‍യി ഒരു വര വരച്ചാല്‍ അത് വൃത്തകേന്ദ്രത്തിലൂടെ കടന്നു പോകുമെന്ന്. ചിത്രം ശ്രദ്ധിക്കുക.

പച്ചനിറത്തിലും നീലനിറത്തിലും കാണുന്ന രേഖാഖണ്ഡങ്ങള്‍ ഞാണുകളാണ്. ചുവപ്പിലും വയലറ്റിലുമുള്ള ഡോട്ടഡ് വരകള്‍ അവയുടെ ലംബസമഭാജികളുമാണ്. ലംബസമഭാജികള്‍ കൂടിച്ചേരുന്ന സ്ഥലമാണ് വൃത്തകേന്ദ്രം. ലംബസമഭാജി വരക്കുന്നതെങ്ങനെയെന്ന് അടുത്ത പോസ്റ്റില്‍ പറയാം.

© ScienceUncle. All rights resereved.

മൂന്നു സംഖ്യകൾ!

അങ്ങനെയും മൂന്ന് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ! ആ മൂന്നു സംഖ്യകളുടെ തുകയും ഗുണനഫലവുമെല്ലാം ഒരേ സംഖ്യ തന്നെ. ആ സംഖ്യകൾ ഏതാണെന്നറിയാമോ? അവയാണു് ഒന്നും രണ്ടും മൂന്നും. തുകയും ഗുണനഫലവുമെല്ലാം തുല്യം - ആറ്!

© ScienceUncle. All rights resereved.

ദാസിന്റെ പച്ചക്കറിക്കട - ഒരു ചെറിയ ഗണിതപ്രശ്നം

പച്ചക്കറി വ്യാപാരിയായ ദാസിന്റെ കടയില്‍ നാല്പതു കിലോ തൂക്കമുള്ള ഒരു
കട്ടിയുണ്ടായിരുന്നു. കരിങ്കല്ലില്‍ നിര്‍മ്മിച്ച ഈ കട്ടിയുപയോഗിച്ച് അദ്ദേഹം മരച്ചീനിയും മറ്റും മൊത്തമായി തൂക്കി വാങ്ങി ചില്ലറ കച്ചവടം നടത്തി ജീവിച്ചു പോരുന്നു. അങ്ങനെയിരിക്കെയാണ് ആ ദുരന്തമുണ്ടായത്. തൂക്കുന്നതിന്നിടയില്‍ നാല്പതു കിലോ കരിങ്കല്‍ക്കട്ടി നിലത്തു വീണ് നാലു കഷണമായി. ദാസ് സങ്കടത്തിലായി.

ദാസിന്റെ ഭാര്യ തൂക്ക കട്ടിയുടെ കഷണങ്ങള്‍ പരിശോധിച്ചു നോക്കിയപ്പോള്‍ അത്ഭുതം! ത്രാസിന്റെ ഇരുതട്ടുകളിലും കഷണങ്ങള്‍ മാറിയും തിരിഞ്ഞും പെറുക്കി വെച്ചാല്‍ ഒന്നു മുതല്‍ 40 വരെയുള്ള ഏതു തൂക്കവും (1കിലോ,2 കിലോ, 3കിലോ ......, 39 കിലോ, 40 കിലോ) ഒറ്റയടിക്ക് ഇപ്പോള്‍ തൂക്കിയെടുക്കാം. ദാസിനും ഭാര്യയ്ക്കും സന്തോഷത്തിന്നതിരില്ല.

പൊട്ടിയ നാലുകഷണങ്ങള്‍ക്കും എത്ര കിലോ വീതം ഭാരമുണ്ടെന്ന്
കൂട്ടുകാര്‍ക്കറിയാമോ? ഉത്തരത്തിനായി അങ്കിള്‍ കാത്തിരിക്കുന്നു...

© ScienceUncle. All rights resereved.

ഹാഷിം കുളം വികസിപ്പിക്കുന്നു!

ഹാഷിമിന് സമചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഒരു കുളമുണ്ട്. കുളത്തിന്റെ നാലുമൂലകളിലും കായ്ച്ചു നില്‍ക്കുന്ന വലിയ നാലു് നാട്ടുമാവുകള്‍‍! ഹാഷിം വിവാഹം കഴിച്ചു മൂന്നു നാലു കുട്ടികളുമായി. കുടുംബാംഗങ്ങള്‍ക്കെല്ലാം കൂടി നീന്തിക്കുളിക്കാന്‍ ഇപ്പോള്‍ കുളത്തിന്റെ വലുപ്പം തികയുന്നില്ല എന്ന സ്ഥിതി. എന്താണ് പോംവഴി? വലുപ്പം ഇരട്ടിയാക്കണം. സമചതുരാകൃതിയോടു് ഹാഷിമിനു പ്രത്യേക കമ്പമുണ്ട്. നാട്ടുമാവുകളോടു് അതിലേറെയും. മരങ്ങള്‍ നിലനിര്‍ത്തിയും സമചതുരാകൃതി മാറ്റാതെയും കുളത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണ്ണം ഇരട്ടിയാക്കാന്‍ കൂട്ടുകാര്‍ക്കു് സഹായിക്കാമോ?

ഉത്തരം ആലോചിച്ച് കണ്ടു പിടിക്കുക. ഒരു നിവൃത്തിയും ഇല്ലെങ്കില്‍ താഴെയുള്ള ലിങ്കില്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക.

ഉത്തരം

ഉത്തരത്തിനു പിന്നിലെ ഗണിത വസ്തുത അറിയേണ്ടവര്‍ക്ക്.

നിലവിലെ അളവുകള്‍
കുളത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം a ആണെന്നിരിക്കട്ടെ. കുളത്തിനു് ഇപ്പോഴുള്ള വിസ്തീര്‍ണ്ണം = a X a = a²

ഇരട്ടിയാക്കിയതിനു ശേഷമുള്ള അളവുകള്‍
ഇരട്ടിയാക്കിയാലുള്ള വിസ്തീര്‍ണ്ണം = 2 X a²
അപ്പോള്‍ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം = √(2 X a²) = √2 X a = √2a ------> (1)

ഒരുവശം √2a ആയ ഒരു സമചതുരമാണ് നമ്മുടെ ഉത്തരം. ഇതു കിട്ടാനുള്ള വഴിയെന്താണെന്നു് ആലോചിക്കുക.

ത്രികോണം BCD ഒരു മട്ടത്രികോണമാണു്.
CD = a (പാദം)
BD = a (ലംബം)

പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തപ്രകാരം, കര്‍ണ്ണം = √(പാദം²+ലംബം²)
അതായതു്, BC = √(CD²+BD²)
BC = √(a²+a²) = √(2a²) = √2a

അതായത്, മഞ്ഞനിറത്തിലുള്ള സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശം √2a ആണു്. അങ്ങനെ ഹാഷിം കുളം വലുതാക്കേണ്ടത്, മഞ്ഞനിറത്തില്‍ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ പ്ലാനില്‍‍!

(C) www.scienceUncle.com

കലണ്ടര്‍ മാജിക്ക്

ഇന്ന് കലണ്ടര്‍ കൊണ്ടൊരു മാജിക്ക് നടത്തി കൂട്ടുകാരുടെ മുന്നില്‍ വിലസാം.

കൂട്ടുകാരനെ ഒരു കലണ്ടറിന് അഭിമുഖമായി നിര്‍ത്തുക. നിങ്ങള്‍ കൂട്ടുകാരനഭിമുഖമായി കലണ്ടര്‍ കാണാനകാതെയും നില്‍ക്കുക. സുഹൃത്തിനോട് കലണ്ടറിലെ ഏതെങ്കിലും തുടര്‍ച്ചയായ മൂന്നു സംഖ്യകള്‍ മനസ്സില്‍ വിചാരിച്ച് അവയുടെ തുക കണ്ടുപിടിച്ച് ഉറക്കെ പറയാന്‍ ആവശ്യപ്പെടുക. അത്ഭുതം! സുഹൃത്ത് മനസ്സില്‍ കണ്ട മൂന്നു സംഖ്യകള്‍ നിങ്ങള്‍ പറയുന്നു!

വിദ്യ നിസ്സാരമാണ്. സുഹൃത്ത് പറഞ്ഞ തുകയെ 3 കൊണ്ട് മനസ്സില്‍ ഹരിക്കുക. ഹരണഫലമാണ് മൂന്നു സംഖ്യകളില്‍ രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യ. ഇതില്‍ നിന്ന് ഒന്നു കുറച്ചാല്‍ ആദ്യത്തെ സംഖ്യയും ഒന്നു കൂട്ടിയാല്‍ മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യയും ലഭിക്കാന്‍ പ്രയാസമില്ലല്ലോ!

ആള്‍ജിബ്രായെ വിളിക്കാം.
ആദ്യത്തെ സംഖ്യ A എന്നിരിക്കട്ടെ
അപ്പോള്‍ രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യ A+1 ഉം
മൂന്നാമത്തെ സഖ്യ A+2 ഉം ആയിരിക്കുമല്ലോ!

മൂന്നു സഖ്യകളുടെ തുക = A + (A+1) + (A+2) = 3A + 3
ഈ തുകയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാല്‍ നമുക്ക് A+1 ലഭിക്കും. അതായത് നമ്മുടെ രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യ!

© ScienceUncle. All rights resereved.

ത്രികോണമിതിയളവുകള്‍ എളുപ്പത്തില്‍ ഓര്‍ത്തിരിക്കുന്ന സൂത്രവിദ്യ

ഗണിത പ്രശ്നങ്ങള്‍ക്ക് ഉത്തരം കണ്ടെത്തേണ്ടി വരുമ്പോള്‍ പലപ്പോഴും അത്യാവശ്യമായി വരുന്ന ഒന്നാണ് 0, 30, 45, 60, 90 എന്നിവയുടെ ത്രികോണമിതിയളവുകള്‍. ഹൈസ്കൂള്‍ വിദ്യാര്‍ത്ഥികള്‍ക്ക് ഇതു പലപ്പോഴും കാണാതെ പഠിക്കേണ്ടതായും വരാറുണ്ട്. ഇത് ഓര്‍ത്തിരിക്കാനുള്ള ഒരു രസികന്‍ വിദ്യ പഠിച്ചുകൊള്ളൂ.

0 (പൂജ്യം)
1/4 (കാല്‍)
1/2 (അര)
3/4 (മുക്കാല്‍)
1(ഒന്ന്)

ഇവയുടെ വര്‍ഗ്ഗമൂലങ്ങള്‍ കണ്ടുപിടിച്ച് താഴെത്താഴെയെഴുതുക. അതായത്,

0
1/2
1/√2
√3/2
1

ഇവ യഥാക്രമം SIN(0), SIN(30), SIN(45), SIN(60), SIN(90) ആയിരിക്കും.
COS ഇതിന്റെ വിപരീതദിശയിലായിരിക്കും. മറ്റൊരുതരത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍, മുകളില്‍ പറഞ്ഞ മൂല്യങ്ങള്‍ COS(90), COS(60), COS(45), COS(30), COS(0) എന്നിവയും ആയിരിക്കും.

ചിത്രം നോക്കുക.

© ScienceUncle. All rights resereved.

തൊലി കളയാതെ പഴം മുറിക്കാമോ?

അതിഥികളെ അമ്പരപ്പിക്കാന്‍ കഴിയുന്ന ഒരു വിദ്യ ഇതാ. അതിഥി വീട്ടില്‍ വരുമ്പോള്‍ നിങ്ങള്‍ ഒരു പഴം കഴിക്കാന്‍ കൊടുക്കുന്നു. അദ്ദേഹം അതു പൊളിച്ചു നോക്കുമ്പോള്‍ അത്ഭുതപ്പെടുന്നു. പഴം ഉള്ളില്‍ കഷണങ്ങളായി ഇരിക്കുന്നു!

ഇനി ഇത് എങ്ങനെ സാധിച്ചു എന്നു പരിശോധിക്കാം.

ആവശ്യമായ സാധനങ്ങള്‍
1. സൂചിയും നൂലും
2. ഒരു പഴം

ചിത്രത്തില്‍ കാണുന്നതു പോലെ പഴത്തിന്റെ തൊലിയിലേക്കു സൂചിയും നൂലും കയറ്റി കുറച്ചു മാറ്റി പുറത്തെടുക്കുക. അതേ ദ്വാരത്തിലൂടെ സൂചി വീണ്ടും കയറ്റി, മറ്റൊരു ദ്വാരത്തിലൂടെ പുറത്തെടുക്കുക. ആദ്യം സൂചി കയറ്റിയ അതേ ദ്വാരത്തില്‍ അവസാനം എത്തുന്നതു വരെ ഇങ്ങനെ പഴത്തിനു ചുറ്റും വൃത്താകൃതിയില്‍ സൂചിയും നൂലും കയറ്റി ഇറക്കുക.

ഇപ്പോള്‍ നൂലിന്റെ രണ്ട് അഗ്രങ്ങളും ഒരേ ദ്വാരത്തിനു വെളിയില്‍ ആയിക്കഴിഞ്ഞു. ഇപ്പോള്‍ സൂക്ഷിച്ച് നൂലിന്റെ രണ്ട് അഗ്രങ്ങളും ചേര്‍ത്ത് സാവധാനം വലിക്കുക. പഴം അകത്ത് മുറിഞ്ഞു കഴിഞ്ഞു. എന്നാല്‍ പുറമേ ഒന്നും കാണാനും ഇല്ല. പഴം പല പല കഷണങ്ങളാക്കാന്‍ ഈ പ്രക്രിയ പഴത്തിന്റെ വിവിധ ഭാഗങ്ങളില്‍ ആവര്‍ത്തിക്കുക.

എങ്ങനെയുണ്ട് സൂത്രം?

© ScienceUncle. All rights resereved.

വൃത്തിയായി ഒരു ദീര്‍ഘ വൃത്തം എങ്ങനെ വരക്കാം?

പല അവസരങ്ങളിലും നമുക്കു വൃത്തങ്ങള്‍ വരക്കേണ്ട ആവശ്യം വരാറുണ്ട്. അപ്പോഴൊക്കെ നാം കോമ്പസസിനെ ആശ്രയിക്കുകയാണ് ചെയ്യാറുള്ളത്. മൈദാനത്തൊ മറ്റോ അല്‍പ്പം വലിയ വൃത്തമാണ് വേണ്ടതെങ്കില്‍, നടുക്ക് ഒരു കുറ്റിയടിച്ച് അതില്‍ വള്ളികെട്ടി ചുറ്റും വരക്കുകയും ചെയ്യാം. പക്ഷേ ഒരു ദീര്‍ഘവൃത്തം വൃത്തിയായി എങ്ങനെ വരക്കാം?

ഈ സൂത്രവിദ്യ പറയുന്നതിനു മുന്‍പായി ദീര്‍ഘവൃത്തത്തെപ്പറ്റി നമുക്കു കുറച്ചു മനസ്സിലാക്കാം. വൃത്തത്തിന് ഒരു കേന്ദ്രമാണെങ്കില്‍ ദീര്‍ഘവൃത്തങ്ങള്‍ക്ക് രണ്ടു പ്രധാന കേന്ദ്രങ്ങളാണുള്ളത്! അവയെ ഫോക്കസുകള്‍ എന്നാണറിയപ്പെടുന്നത്. ദീര്‍ഘവൃത്തത്തിലെ ഏതൊരു ബിന്ദു പരിഗണിച്ചാലും രണ്ടു ഫോക്കസുകളില്‍ നിന്നും ഈ ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ദൂരങ്ങളുടെ തുക എവിടെയും തുല്യമായിരിക്കും.

ചിത്രം ശ്രദ്ധിക്കുക. ഇവിടെ x1 + x2 ദീര്‍ഘവൃത്തത്തിന്റെ എല്ലാ ബിന്ദുവിലും തുല്യമായിരിക്കും.
മേല്‍പ്പറഞ്ഞ നിയമമനുസരിച്ച് ഒരു തടിയിലോ മറ്റോ നിശ്ചിത ദൂരത്തില്‍ രണ്ടാണികള്‍ അടിക്കുക. അതിനുശേഷം ഒരു നൂലുപയോഗിച്ച് കുറച്ച് അയച്ച് ആണികളെ പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിക്കുക. ഇനി ഒരു പെന്‍സിലെടുത്ത് നൂലില്‍ കുടുക്കി ചിത്രത്തില്‍ കാണുന്നത് പോലെ ആഞ്ഞു വലിച്ച് ചുറ്റും വരച്ചു നോക്കൂ. കൂട്ടുകാരുടെ ദീര്‍ഘവൃത്തം സൃഷ്ടിക്കപ്പെടുകയായി! ഇവിടെ ആണികള്‍ ഫോക്കസിന്റെ സ്ഥാനത്താണ് നില്‍ക്കുന്നത്. രണ്ടാണികള്‍ക്കിടയിലുള്ള നൂലിന്റെ നീളം x1+x2 ആയിരിക്കുകയും ചെയ്യും.

© ScienceUncle. All rights resereved.

ഇങ്ങനെ ഒരു ത്രികോണമുണ്ടോ?

ചിത്രത്തില്‍ കാണുന്നതു പോലെ ഒരു ത്രികോണം നിര്‍മ്മിക്കുവാന്‍ കൂട്ടുകാര്‍ക്ക് കഴിയുമോ?

1934 ല്‍ ഇത് ആദ്യമായി വരച്ചത് ഓസ്കാര്‍ റ്വീട്ടര്‍സ്വാര്‍ഡ് എന്ന സ്വീഡിഷ് കലാകാരനാണ്. പിന്നീട് 1950 കളില്‍ റോഗര്‍ പെന്‍‌റോസ് എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ ഇത് സ്വന്തമായി വികസിപ്പിക്കുകയും പ്രചരിപ്പിക്കുകയുമാണ് ചെയ്തത്. അതിനാല്‍ ഈ ത്രികോണം പെന്‍‌റോസ് ത്രികോണം എന്നാണ് അറിയപ്പെടുന്നത്.

താഴെക്കാണുന്ന ചിത്രം കണ്ടാല്‍ ഇത് അസാധ്യമായ ഒരു ത്രികോണമാണെന്നു മനസ്സിലാക്കാം. വിവിധ ദിശകളില്‍ തികച്ചും പെര്‍പ്പെന്‍ഡിക്കുലര്‍ ( മട്ടം) ആയ മൂന്ന് കഷണങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്താണ് ഇതിന്റെ നിര്‍മ്മാണം. അവ ഒരിക്കലും തമ്മില്‍ ചേരുകയില്ലല്ലോ!
പക്ഷേ ഇത്തരത്തിലുള്ള മൂന്നു കഷണങ്ങള്‍ ചില പ്രത്യേക ദിശകളില്‍ നോക്കിയാല്‍ പെന്‍‌റോസ് ത്രികോണം പോലെ തോന്നുകയും ചെയ്യും. പെന്‍‌റോസ് തികോണത്തെ ദൃശ്യ മിഥ്യാബോധം (optical illusion) എന്ന ഗണത്തിലാണ് പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത്.

തടികൊണ്ടുള്ള മേശയുടെ കാലും ചവിട്ടുപടിയും ചേരുന്ന ഭാഗത്ത് പെന്‍‌റോസ് ത്രികോണം കാണാന്‍ കഴിയുമോ?

© ScienceUncle. All rights resereved.

ഇഷ്ടസംഖ്യ ഇഷ്ടം പോലെ......

കൂട്ടുകാരെ അത്ഭുതപ്പെടുത്താനുള്ള ഒരു ഗണിത ശാസ്ത്ര വിദ്യ പഠിച്ചോളൂ.
12345679 എന്ന സംഖ്യയില്‍ ഇഷ്ടപെട്ട അക്കം തിരഞ്ഞെടുക്കുവാന്‍ കൂട്ടുകാരനോട് ആവശ്യപ്പെടുക.

സുഹൃത്ത് ഉദാഹരണത്തിന്‍ 4 തെരഞ്ഞെടുത്തുവെന്നു വിചാരിക്കുക. ഇപ്പോള്‍ സുഹൃത്തിനോട് 12345679 എന്ന വലിയ സംഖ്യയെ 36 കൊണ്ടു ഗുണിക്കുവാന്‍ ആവശ്യപ്പെടുക. ഗുണിച്ചു കഴിയുമ്പോള്‍ സുഹൃത്ത് ഞെട്ടിപോകുന്നു. 4 കളുടെ ഒരു പെരുമഴ തന്നെ!
ഇനി ഇതിന്റെ രഹസ്യം പറഞ്ഞു തരാം...
സുഹൃത്ത് തെരഞ്ഞെടുത്ത സംഖ്യയെ 9 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ആ സംഖ്യയാണ് സുഹൃത്തിന് ഗുണിക്കാന്‍ കൊടുക്കേണ്ടത്. അത്ര തന്നെ!

12345679 X 9 = 111111111
12345679 X 18 = 222222222
12345679 X 27 = 333333333
12345679 X 36 = 444444444
12345679 X 45 = 555555555
12345679 X 54 = 666666666
12345679 X 63 = 777777777
12345679 X 72 = 888888888
12345679 X 81 = 999999999

© ScienceUncle. All rights resereved.

5 ല്‍ അവസാനിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗം(square) എളുപ്പത്തില്‍ കാണുന്ന സൂത്രവിദ്യ!!

25 ന്റെ വര്‍ഗ്ഗം 625
35 ന്റെ വര്‍ഗ്ഗം 1225
45 ന്റെ വര്‍ഗ്ഗം 2025
55 ന്റെ വര്‍ഗ്ഗം 3025
65 ന്റെ വര്‍ഗ്ഗം 4225
അങ്ങനെ അങ്ങനെ അങ്ങനെ.....

ഇനി ഇത് എളുപ്പത്തില്‍ പറയുന്ന വിദ്യ പഠിച്ചു കൊള്ളൂ...

അവസാനത്തെ 5 ഒഴിച്ചുള്ള സംഖ്യ പരിഗണിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, 35 ന്റെ വര്‍ഗ്ഗം കാണാന്‍ 5 ഒഴിച്ചു നിര്‍ത്തി 3 പരിഗണിക്കുക. ഇനി 3 ന് ശേഷം വരുന്ന എണ്ണല്‍ സംഖ്യ കൊണ്ട് (അതായത് 4) 3 നെ ഗുണിക്കുക.

3 x 4 = 12

5 ല്‍ അവസാനിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗം 25 ല്‍ ആയിരിക്കും അവസാനിക്കുന്നത്. അതുകൊണ്ട് 35 ന്റെ വര്‍ഗ്ഗം കാണാന്‍ 12 ന്റെ കൂടെ 25 കൂടെ ചേര്‍ത്തെഴുതുക. അതായത് 1225!

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
പൊതുവേ പറഞ്ഞാല്‍...
K5 ന്റെ വര്‍ഗ്ഗം K(K+1) കണ്ടുപിടിച്ചതിന് ശേഷം 25 എന്നു കൂടി വെറുതെ ചേര്‍ത്ത് എഴുതുക.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

75 ന്റെ വര്‍ഗ്ഗം 7 x 8 & 25 = 5625
ഇനി 85 ന്റെ വര്‍ഗ്ഗം തനിയെ പറയൂ....
എന്താ സൂത്ര വിദ്യ ഇഷ്ടമായോ?

© ScienceUncle. All rights resereved.

മാന്ത്രിക ചതുരത്തിനു പിന്നിലെ മാന്ത്രിക വിദ്യ!!

നെടുകയും കുറുകയും കോണോടു കോണും കൂട്ടിയാല്‍ ഒരേ തുക ഉത്തരം വരുന്ന സംഖ്യകള്‍ അടുക്കിയ സമചതുരങ്ങളാണ് മാന്ത്രികചതുരങ്ങള്‍. താഴെക്കാണുന്നത്, 3 ആധാരമായ മാന്ത്രിക ചതുരമാണ്.

എങ്ങനെ കൂട്ടിയാലും 15 തന്നെ അല്ലേ?

ഒറ്റ സംഖ്യകള്‍ ആധാരമായ മാന്ത്രിക ചതുരങ്ങള്‍
ഒറ്റ സംഖ്യകള്‍ (3,5,7,9,11 ...) ആധാരമായ മാന്ത്രിക ചതുരങ്ങള്‍ എങ്ങനെ നിര്‍മ്മിക്കാമെന്ന് ഇന്നു പഠിക്കാം.

ആദ്യം ആവശ്യമായ കള്ളികള്‍ ഉള്ള ചതുരം വരക്കുക. ഉദാ: 5 വരിയും 5 നിരയുമുള്ള ഒരു സമചതുരം. ഇതാ ഇങ്ങനെ...

നിയമാവലികള്‍ ഇനി അക്കമിട്ടു പറയാം...
1. ആദ്യത്തെ വരിയുടെ മദ്ധ്യത്തില്‍ നിന്നു തുടങ്ങുക. അവിടെ 1 എഴുതുക. (ചിത്രം 1)
2. അടുത്ത സംഖ്യ ഒരു കളം മുകളില്‍ ഒരു കളം വലത്ത്...
(ആ സംഖ്യ ചതുരത്തിന് പുറത്ത് മുകളില്‍ വന്നാല്‍, പുറത്തേ സ്ഥാനത്തിന് നേരെയുള്ള അതേ നിരയുടെ ഏറ്റവും താഴെയെഴുതുക... എന്നാല്‍ സംഖ്യ പുറത്ത് വലതു വശമാണ് വരുന്നതെങ്കില്‍ പുറത്തേ സ്ഥാനത്തിന് നേരെയുള്ള അതേ വരിയുടെ ഇടത്തേ അറ്റത്തെഴുതുക.) (ചിത്രം 2 & 3)
3. ആധാരസംഖ്യയുടെ ഗുണിതങ്ങള്‍ക്ക് (multiples) ശേഷം വരുന്ന അടുത്ത സംഖ്യ, ഗുണിതത്തിനു തൊട്ടു താഴെയെഴുതുക. ഉദാഹരണത്തിന് ഇവിടെ ആധാര സംഖ്യ 5 ആയതിനാല്‍ 6,11,16,21 എന്നീ സംഖ്യകള്‍ യഥാക്രമം 5,10,15,20 ഇവയുടെ തൊട്ടു താഴെയെഴുതുക. (ചിത്രം 6)

താഴെക്കാണുന്ന ചിത്രങ്ങള്‍ ശ്രദ്ധിക്കുക.

പൂര്‍ത്തിയായ മാന്ത്രികചതുരമാണ് ചിത്രം 7 ല്‍ കാണുന്നത്.

© ScienceUncle. All rights resereved.

ഒരു ഗണിത പ്രശ്നം

X = 0.999... എന്നിരിക്കട്ടെ
അതുകൊണ്ട് 10X = 9.999...


രണ്ടു വശത്തു നിന്നും X കുറച്ചാല്‍...
9X = 9.999... - X

പക്ഷേ X 0.999... ആണ്. അതുകൊണ്ട്
9X = 9.999... - 0.999...
അല്ലെങ്കില്‍ 9X = 9


രണ്ടു വശവും 9 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍
X=1

പക്ഷേ X = 0.999... എന്നാണ് നാം തുടങ്ങിയത്.
അതുകൊണ്ട് 0.999... = 1

നിങ്ങള്‍ എന്തു പറയുന്നു?


© ScienceUncle. All rights resereved.