സയന്‍സ് അങ്കിളിനു ശ്രീലാല്‍ എന്ന സുഹൃത്ത് അയച്ച മെയില്‍ ആണ് താഴെക്കൊടുക്കുന്നത്.
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
പ്രിയ സയന്‍സ് അങ്കിള്‍,
താങ്കളുടെ ശാസ്ത്രസംബന്ധിയായ ബ്ലോഗ് ഇന്നാണ് കാണുന്നത്. വളരെ കൌതുകകരമായിത്തോന്നുന്നു. കുട്ടികള്‍ക്കുമാത്രമല്ല മുതിര്‍ന്നവര്‍ക്കും ഉപകാരം ചെയ്യും ഇത്തരം ബ്ലോഗുകള്‍.
ഈയിടെ എന്റെ ഒരു സുഹൃത്ത് ചോദിച്ച ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം നിങ്ങളോടു ചോദിക്കാമല്ലോ എന്ന് ഇത് വായിച്ചപ്പോള്‍ ആണ് തോന്നിയത്. ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരം ആരോ പറഞ്ഞ് അറിയാമെങ്കിലും അതു കണ്ടുപിടിക്കുന്ന വഴി അറിയില്ലായിരുന്നു എന്റെ സുഹൃത്തിന്.
ഒന്നു സഹായിക്കുമോ..?
ചോദ്യം ഇതാണ്.
4 വാതിലുകള്‍ ഉള്ള ഒരു കൊട്ടാരം. നിങ്ങളുടെ കയ്യില്‍ കുറെ രത്നങ്ങള്‍ ഉണ്ടു. അതില്‍ നിങ്ങള്‍ക്ക് ഇഷ്ടമുള്ള അത്രയും രത്നങ്ങള്‍ ഒരോ വാതിലിലും കൊടുക്കാം. പക്ഷേ നിങ്ങള്‍ എത്ര കൊടുത്താലും, അത് ഒരോ വാതിലിലും ഒരേ പോലെ തന്നെ ആവണം. ഉദാ - നിങ്ങള്‍ 10 ആണ് കൊടുക്കുന്നതെങ്കില്‍, എല്ലായിടത്തും 10 തന്നെ കൊടുക്കുക... നിങ്ങള്‍ എത്ര കൊടുത്താലും, നിങ്ങളുടെ കയ്യില്‍ ബാക്കി ഉള്ള അത്രയും ഒരോ വാതിലും തിരിച്ചു തരും.... അങ്ങനെ അവസാനം നാലാമത്തെ വാതിലില്‍ വരെ നിങ്ങള്‍ രത്നം കൊടുക്കണം.... അവസാനം ഒന്നും ശേഷിക്കരുത്!
ഉത്തരം ഇതാണ്.
ആകെ രത്നങ്ങളുടെ എണ്ണം - 75
ഓരോ വാതിലിലും കൊടുക്കുന്നത് 40 എണ്ണം വീതം.
ഇതു കണ്ടുപിടിക്കുന്ന വഴിയാണ്
അറിയാത്തത്. ഒന്നു സഹായിക്കണേ.
നന്ദി,
ശ്രീലാല്‍
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
നമുക്ക് അതിന്റെ ഉത്തരം ലളിതമായി ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി കണ്ടെത്താന്‍ ശ്രമിക്കാം.
ആകെ കയ്യിലുണ്ടായിരുന്ന രത്നങ്ങള്‍ N എന്നിരിക്കട്ടെ.
ഓരോ വാതിലിലും Y രത്നങ്ങള്‍ കൊടുക്കുന്നു എന്നും വിചാരിക്കുക.
ഒന്നാമത്തെ വാതിലില്‍
കൊണ്ടുവന്നത് = N
കൊടുത്തത് = Y
മിച്ചമുള്ളത് = N - Y
വാതില്‍ നിന്നും കിട്ടിയത് = N - Y
ആകെ ഇപ്പോള്‍ കയ്യിലുള്ളത് = ( N - Y) + (N - Y) = 2N - 2Y
രണ്ടാമത്തെ വാതിലില്‍
കൊണ്ടുവന്നത് = 2N - 2Y
കൊടുത്തത് = Y
മിച്ചമുള്ളത് = (2N - 2Y) - Y = 2N - 3Y
വാതില്‍ നിന്നും കിട്ടിയത് 2N - 3Y
ആകെ ഇപ്പോള്‍ കയ്യിലുള്ളത് ( 2N - 3Y) + (2N - 3Y) = 4N - 6Y
മൂന്നാമത്തെ വാതിലില്‍
കൊണ്ടുവന്നത് = 4N - 6Y
കൊടുത്തത് = Y
മിച്ചമുള്ളത് = (4N - 6Y) - Y = 4N - 7Y
വാതില്‍ നിന്നും കിട്ടിയത് = 4N - 7Y
ആകെ ഇപ്പോള്‍ കയ്യിലുള്ളത് = ( 4N - 7Y) + (4N - 7Y) = 8N - 14Y
നാലാമത്തെ വാതിലില്‍
കൊണ്ടുവന്നത് = 8N - 14Y
കൊടുത്തത് = Y
മിച്ചമുള്ളത് = (8N - 14Y) - Y = 8N - 15Y
പക്ഷേ നാലാമത്തെ വാതിലില്‍ രത്നം കൊടുത്തു കഴിഞ്ഞാല്‍ മിച്ചം ഒന്നും
കാണരുത്! അതായത് മിച്ചം പൂജ്യം ആയിരിക്കണം!
അതായത്, 8N - 15Y = 0 ആയിരിക്കണം
N = (15 Y) / 8
Y ക്ക് 8, 16, 24, 32, 40, 48 തുടങ്ങിയ 8 ന്റെ ഗുണിതങ്ങള്‍ വില നല്‍കിയാല്‍
(എങ്കിലല്ലേ പൂര്‍ണ്ണ സംഖ്യകള്‍ ഉത്തരം കിട്ടൂ...)
യഥാക്രമം
Y=8; N=15
Y=16; N=30
Y=24; N=45
Y=32; N=60
Y=40; N=75
Y=48; N=90
അങ്ങനെ അങ്ങനെ അങ്ങനെ.....
N ആകെ കൊണ്ടുവന്ന രത്നങ്ങളുടെ എണ്ണവും Y വാതിലില്‍ കൊടുത്ത രത്നങ്ങളുടെ എണ്ണവുമാണ്.
ഇതില്‍ അഞ്ചാമത്തേതാണ് ശ്രീലാല്‍ തന്ന ഉത്തരം. മറ്റൊരുതരത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍ ഈ ചോദ്യത്തിന് അനന്തമായ ഉത്തരങ്ങള്‍ ഉണ്ട് എന്നു പറയാം.
© ScienceUncle. All rights resereved.
സയന്‍സ് അങ്കിളിന് പറയാനുള്ളത്..
നന്ദി.. കടപ്പാട്..
മറ്റൊരു രീതിയിലും ഇതു ചെയ്യാം. ഉത്തരത്തില്‍ നിന്നു തിരിച്ചു പോകുന്ന രീതി. ആല്‍ജിബ്രാ ഉപയോഗിക്കാതെ.
ReplyDeleteഓരോ സ്ഥലത്തും കൊടുക്കുന്ന രത്നങ്ങള്‍ 40 (ഇതു് ഏതു സംഖ്യയുമാവാം, X എന്നും ആവാം.) എന്നു കരുതുക.
നാലാം വാതിലിലെത്തുമ്പോള്‍ കയ്യില്‍ 40 എണ്ണമുണ്ടാവണം. എന്നാലേ കൊടുത്തു കഴിഞ്ഞാല്‍ ഒന്നുമില്ലാതെ വരൂ. അതായതു്, അതിന്റെ മുമ്പിലെ വാതിലില്‍ നിന്നു അത്രയും തന്നെ തിരിച്ചുകിട്ടുന്നതിന്റെ മുമ്പു് 20 എണ്ണം വേണം. അതായതു്, മൂന്നാം വാതിലില്‍ എത്തുമ്പോള്‍ നമ്മുടെ കയ്യില്‍ 40 + 20 = 60 എണ്ണം വേണം. അതില്‍ 40 നമ്മള്‍ അവിടെ കൊടുക്കുന്നു. ബാക്കി 20 ഇരട്ടിച്ചു 40 ആകുന്നു. അതു കൊണ്ടു നമ്മള്‍ നാലാം വാതിലില്‍ പോകുന്നു.
മൂന്നാം വാതില്‍ എത്തുമ്പോള്‍ കയ്യില്‍ 60 എണ്ണം വേണമെങ്കില്‍ രണ്ടാം വാതിലില്‍ എത്തുമ്പോള്‍ നമ്മുടെ കയ്യില്‍ 60/2 + 40 = 70 എണ്ണം വേണം. അതില്‍ 40 രണ്ടാം വാതിലില്‍ കൊടുത്തിട്ടു ബാക്കിയുള്ളതു് ഇരട്ടിച്ചാല്‍ 60 ആകും.
രണ്ടാം വാതിലില്‍ ചെല്ലുമ്പോള്‍ 70 വേണമെങ്കില്‍ ഒന്നാം വാതിലില്‍ നാം 70/2 + 40 = 75 എണ്ണം കൊണ്ടു പോകണം.
ഇതിലെ എല്ലാം രേഖീയക്രിയകളായതിനാല്‍ ഇവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധവും രേഖീയമായിരിക്കും. 40 എണ്ണമാണു കൊടുക്കുന്നതെങ്കില്‍ 75 എണ്ണം കൊണ്ടുപോകണമെങ്കില്‍ X എണ്ണം കൊടുക്കണമെങ്കില്‍ X x 75 / 40 = 15x/8 എണ്ണം കൊണ്ടുപോകണം.
ഇതിനെ ഒന്നുകൂടി വലുതാക്കാം. നാലു വാതിലിനു പകരം n വാതിലുകളുണ്ടെങ്കില്‍ ഇവ രണ്ടും തമ്മിലുള്ള ബന്ധമെന്തായിരിക്കും? ഇതു ഞാന്‍ വായനക്കാര്‍ക്കു വിടുന്നു.
ഇത്തരം പ്രശ്നങ്ങള്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളിച്ചുകൊണ്ടു ഞാന്‍ ഒരു ബ്ലോഗ് നടത്തുന്നുണ്ടു് - ബുദ്ധിപരീക്ഷ. സയന്‍സ് അങ്കിള്‍ അതു കണ്ടിട്ടുണ്ടോ?
ഒന്നല്ല രണ്ടുവഴികള്‍ കിട്ടിയല്ലോ...:) നന്ദി, വളരെ നന്ദി സയന്‍സ് അങ്കിള്‍,ഉമേഷ്ജീ.. തുടര്‍ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം കണ്ടെത്താന്‍ ശ്രമിക്കാം.
ReplyDeleteഉമേഷ്ജി കൊടുത്ത ലിങ്ക് പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്നില്ലല്ലോ ! ഇവിടെയുണ്ട് അത്.
നന്ദി ഉമേഷ് & ശ്രീലാല്‍..
ReplyDeleteബുദ്ധിപരീക്ഷ കൊള്ളാം...
-സയന്‍സ് അങ്കിള്‍
ഞാന്‍ ചോദിച്ച പ്രശ്നത്തിന്റെ ഉത്തരം ഇതാണു്:
ReplyDeleten വാതിലുകളും ഓരോ വാതിലിലും കൊടുക്കുന്നതു r രത്നങ്ങളുമാണെങ്കില്‍ ആദ്യം കൊണ്ടുപോകേണ്ടതു്
(2^n - 1)r / (2^(n-1))
ആണു്. ഇവിടെ a^b എന്നതു ഘാതം ആണു്, b തവണ a-യെ ഗുണിച്ചതു്.
n=4 ആകുമ്പോള്‍ (15/8)r ആകും.